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2017黑龙江政法干警考试行测备考:加法原理解决走楼梯问题

在政法干警行测数量关系中,有一类排列组合问题被称为“爬楼梯”问题。题目描述如下:有n阶台阶,每次可以登a阶或者b阶,问要登上第n阶台阶一共有多少种方法。这种题目,很多同学不明白其中的道理,遇到之后都无从下手,中公政法干警考试网就带领大家来梳理此类问题的具体解法。

一、母题演示

12阶台阶,每次可以登上1阶或者2阶,请问有多少种走法?

A.233 B.300 C.350 D.364

思考:从最后的爬楼梯状态入手,要想登上第12阶,我们可以从第11阶登一步,也可以从第10阶登两步,均可以达到目的。也就是说,登上第12阶的方法可以分成两类,表示成S(12)=S(11)+S(10),其中S(12)为爬上12阶的总方法,S(11)为爬上11阶的总方法。同理S(11)=S(10)+S(9)。

以此类推,本题的解题递推公式就是S(n)=S(n-1)+S(n-2)。接下来只需要通过枚举法求出S(1)=1、S(2)=2即可。

下面对此类问题的解决方法进行总结:

①通过分析最后爬楼梯的状态,确定递推公式;②通过枚举求出前若干项;③通过画表格求出答案。

二、举一反三

【例1:】12阶台阶,每次可以登上1阶或者3阶台阶,请问有多少种走法?

【中公解析】:第一步:分析最后的状态,可以分为从11阶登一步上去,或者从第9阶登三步上去两大类,所以S(12)=S(11)+S(9),以此类推,S(n)=S(n-1)+S(n-3);

第二步:枚举S(1)=1、S(2)=1,、S(3)=2;

第三步:画表格求答案。

【例2】12阶台阶,每次可以登上1阶或者2阶或者3阶台阶,请问有多少种走法?

【中公解析】:第一步:分析最后的状态,可以从11阶登一步上去,或者从第10阶登二步上去,还可以从第9阶登3步上去,共计三类,所以S(12)=S(11)+S(10)+S(9),以此类推,S(n)=S(n-1)+S(n-2)+S(n-3);

第二步:枚举S(1)=1、S(2)=2、S(3)=4;

第三步:画表格求答案。

通过以上几道题目,大家会发现,爬楼梯问题是加法原理的基本应用,所以只要我们明白了其中的道理,学会基本步骤,就可以快速解决这一类问题。

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责任编辑(fanfan)

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